Modulación OFDM

OFDM es el método de modulación más empleado en la actualidad en sistemas inalámbricos. Se emplea en WiFi y en aerDOCSIS, en LTE (el estándar de telefonía móvil de cuarta generación), en UWB, en DVBT (televisión digital terrestre). Incluso se emplea en sistemas de transmisión por cable como ADSL o PLC.

¿En qué consiste este mecanismo de modulación? ¿Qué ventajas aporta? ¿Qué parámetros se deben tener en cuenta al definir la modulación OFDM necesaria para una aplicación determinada? A estas y otras preguntas se da respuesta en esta entrada, centrándose fundamentalmente en los conceptos que están detrás de este sistema de modulación, con un lenguaje llano y evitando complejidades matemáticas y terminología excesivamente técnica.

1.       ¿Qué es OFDM?

OFDM significa “Multiplexión por División en Frecuencias Ortogonales”, definición que poco ayuda a entender cómo funciona. Es un mecanismo de modulación ideado para combatir la interferencia entre símbolos consecuencia de la propagación multitrayecto característica de los medios de transmisión inalámbricos.

Para entender cómo funciona la OFDM, primero hay que identificar el problema que se combate, que no es otro que la Interferencia entre Símbolos.

2.       El problema: La interferencia entre símbolos

La señal transmitida por la antena de un dispositivo transmisor, formada por una secuencia de símbolos, tiene varios caminos posibles para llegar hasta la antena del dispositivo receptor debido a la presencia de obstáculos, paredes, árboles o el mismo suelo, en los que rebota la señal. Para cada uno de estos trayectos posibles la señal recorrerá una distancia diferente, por lo que la señal procedente de diferentes trayectos llegará a la antena receptora en diferentes instantes de tiempo. El receptor recibirá por tanto varias réplicas de la señal transmitida en diferentes instantes de tiempo, lo que genera un efecto “eco”.

En esta entrada emplearemos el término “eco” para referirnos a las diferentes réplicas de la señal que llegan al receptor en instantes de tiempo diferentes debido a la dispersión temporal del canal de transmisión. No es un término correcto, pero ayuda a entender el concepto.

En la siguiente figura se ilustra el fenómeno que genera la Interferencia entre Símbolos.

La señal transmitida por el transmisor llega al receptor siguiendo tres trayectos diferentes. El trayecto A es el más corto, por lo que será el primero en llegar al receptor. Un instante después lo hará la señal que recorra el trayecto B y por último lo hará la señal del trayecto C, que es el más largo. Las señales procedentes de los diferentes trayectos son la misma señal, pero que llegan al receptor en instantes de tiempo diferentes, generando un fenómeno de “eco”.

Este “eco” provoca que los símbolos que forman la señal recibida se entremezclen unos con otros del mismo modo que se entremezclan las palabras que oímos cuando alguien habla en un escenario con eco. Este fenómeno característico de los medios de transmisión multitrayecto se denomina “interferencia entre símbolos”, o ISI por sus siglas en inglés (Inter-Symbol Interference).

La ISI se debe al eco generado en el medio de transmisión. Entornos con mucho eco generan mucha interferencia entre símbolos, y entornos con poco eco generan poca ISI. Por lo tanto la ISI dependerá del escenario de propagación, y es independiente de la modulación empleada o cualquier otro aspecto técnico. Habrá medios de propagación con mucha ISI, y escenarios con poca ISI. La ISI es por tanto uno de los problemas en los sistemas de transmisión inalámbricos, y la modulación OFDM ayuda a combatir este problema.

3.       ¿Cómo consigue la modulación OFDM combatir la interferencia entre símbolos?

Sin entrar en complejas formulaciones matemáticas, podríamos decir que la modulación OFDM se caracteriza por símbolos muy largos que se separan entre sí un determinado intervalo de tiempo para evitar que se entremezclen unos con otros debido a la ISI.

El motivo por el que la modulación OFDM combate la ISI es ese intervalo de tiempo que se inserta entre los símbolos. Ese intervalo se denomina “Prefijo Cíclico”, o CP por sus siglas en inglés. Aunque no es relevante para comprender su función, el nombre “prefijo cíclico” se debe a que durante ese tiempo se transmite una réplica de la parte final del símbolo al que precede, con objeto de conservar la periodicidad cíclica del símbolo y que las matemáticas detrás de este mecanismo de modulación funcionen. Lo importante es que ese intervalo de tiempo está diseñado para evitar la interferencia entre símbolos.

Como se ve en la siguiente figura, cada símbolo es precedido por un prefijo cíclico para formar el símbolo OFDM completo. Gracias a ese prefijo cíclico, como se verá, se pueden concatenar varios símbolos OFDM uno detrás de otro sin miedo a que el eco del medio de propagación los mezcle entre sí. En la figura se muestran tres símbolos OFDM, cada uno de ellos formado por una parte útil y un prefijo cíclico.

Al contrario que las modulaciones tradicionales de portadora única, la modulación OFDM está formada por múltiples subportadoras, por lo que cada símbolo transporta una gran cantidad de información (bits), mientras que en sistemas de portadora única los símbolos son de corta duración y transportan pocos bits. Es decir, en vez de repartirse la información en muchos símbolos de corta duración, se reparte en pocos símbolos de larga duración. El porqué de necesitar símbolos de larga duración se expone más adelante.

Como ya se ha indicado, precediendo a cada símbolo que forma la señal OFDM se inserta un intervalo de tiempo denominado prefijo cíclico. Si la señal formada por símbolos OFDM, cada uno con su prefijo cíclico y parte útil, se transmite en un medio con múltiples trayectos entre el transmisor y el receptor, la señal recibida estará formada por varias réplicas de la señal original recibidas en diferentes instantes de tiempo (eco). Ese eco hará que se mezclen los prefijos cíclicos y las partes útiles de los símbolos allí donde haya una transición entre dos símbolos o entre un prefijo cíclico y la parte útil del símbolo.

El receptor recibe por tanto la señal con el eco que afecta a las zonas de transición. ¿Qué efecto tiene este eco en el receptor?

En primer lugar, el eco del prefijo cíclico que se solapa sobre la parte útil del símbolo no afecta en absoluto a dicha parte útil. Esto se debe precisamente a que el prefijo cíclico es una copia de la parte final de la parte útil del símbolo. Esta periodicidad cíclica es precisamente la que anula los efectos del eco del prefijo cíclico sobre la parte útil del símbolo. La demostración de este fenómeno requiere entrar en profundidad en aspectos técnicos fuera del objetivo de esta entrada, por lo que nos limitaremos a aceptar que el eco del prefijo cíclico sobre el símbolo útil no afecta porque es un eco de sí mismo.

¿Qué ocurre con el eco de un símbolo que se solapa con el prefijo cíclico del símbolo siguiente? En este caso no se trata de un eco de sí mismo, por lo que ese eco sí afecta al prefijo cíclico. El prefijo cíclico queda contaminado por el eco del símbolo anterior. A pesar de ello, esto no tiene ningún efecto importante, pues lo primero que hace el receptor al recibir la señal es descartar el prefijo cíclico. Es decir, el eco del símbolo anterior que contamina el prefijo cíclico es totalmente irrelevante, pues el prefijo cíclico está ahí para eso, para soportar el eco del símbolo anterior. El receptor lo descarta y la parte útil del símbolo, que es lo que importa, queda completamente intacta, o únicamente afectada por el eco de sí misma, que como se ha indicado no tiene consecuencias.

En definitiva, la modulación OFDM consigue combatir la ISI mediante la inserción de un prefijo cíclico precediendo a cada símbolo, de modo que el eco generado por el multitrayecto sólo afecte a ese prefijo cíclico y los símbolos queden totalmente libres de ISI.

4.       ¿Qué duración debe tener el prefijo cíclico?

En el ejemplo anterior hemos visto como el eco del prefijo cíclico sobre la parte útil del símbolo no tiene importancia, y que el eco del símbolo anterior sobre el prefijo cíclico tampoco la tiene debido a que el receptor descarta dicho prefijo cíclico. Esa es la esencia del porqué la modulación OFDM puede eliminar por completo la interferencia entre símbolos. Una vez eliminados los prefijos cíclicos, la parte útil de cada símbolo no estará contaminada por el eco de otro símbolo.

¿Pero qué ocurriría si el eco tuviese una duración mayor a la del prefijo cíclico? En tal caso, el eco de un símbolo no sólo contaminaría la totalidad del prefijo cíclico del símbolo siguiente, sino que llegaría a afectar también a la parte útil del símbolo siguiente. Si esto ocurre, aunque el receptor descarte el prefijo cíclico, los símbolos útiles quedarán afectados por el eco de los símbolos anteriores. Es decir, habrá interferencia entre símbolos, por lo que el objetivo de la OFDM (eliminar la ISI) no se habría logrado.

Parece que hemos encontrado un límite de la modulación OFDM. Si el eco es más largo que el prefijo cíclico, no se conseguirá eliminar la interferencia entre símbolos.

La duración del prefijo cíclico es por tanto una de las características más importantes de una modulación OFDM determinada. El prefijo cíclico debe tener una duración superior a la máxima dispersión del canal esperable, es decir, superior a la máxima duración del eco que se pueda esperar en un determinado escenario.

Si se espera un entorno de propagación de baja dispersión temporal (corta duración del eco), bastará con un prefijo cíclico de corta duración. Si en cambio el entorno de propagación puede generar un eco de larga duración, el prefijo cíclico también deberá ser de larga duración. El prefijo cíclico depende por tanto del entorno de propagación y de la dispersión temporal que se pueda esperar.

Como se ha indicado al inicio de esta entrada, la modulación OFDM se emplea en muchas tecnologías diferentes. Cada una de ellas define una duración de prefijo cíclico diferente, en función de si está diseñada para entornos de larga distancia (eco de larga duración), o de corta distancia (eco de corta duración). Veamos esto con tres ejemplos.

La modulación OFDM de WiFi (802.11a/g) emplea un prefijo cíclico de 800ns de duración. Ese es el tiempo que tarda una onda radioeléctrica en recorrer 240 metros a la velocidad de la luz. La versión 802.11n permite incluso usar un prefijo cíclico más corto de 400ns, tiempo en el que la luz recorre 120 metros. Esto implica que la diferencia de distancia recorrida entre el trayecto más corto y el más largo no puede exceder esos 240 metros (120 metros en 802.11n), ya que de lo contrario la señal que recorra el trayecto más largo llegaría al receptor con un retraso superior a esos 800ns (400ns en 802.11n) respecto a la señal que recorre el trayecto más corto, por lo que el solapamiento de símbolos debido al eco excedería la duración del prefijo cíclico contaminando la parte útil del símbolo. ¿Es suficiente esa duración del prefijo cíclico? Dado que WiFi ha sido concebida para propagación en entornos de reducida dimensión (interior de edificios y oficinas), parece más que razonable pensar que no habrá una diferencia de trayectos que exceda esos 240 (ó 120) metros.

¿Qué ocurriría si se emplease la modulación OFDM de WiFi para la transmisión de señal a varios kilómetros de distancia? En este caso sí sería razonable pensar que el trayecto más largo excediese en más de 240 (ó 120) metros la longitud del trayecto más corto. En tal caso la modulación fracasaría al no poder eliminar la interferencia entre símbolos. Por este motivo, en aerDOCSIS, tecnología pensada para acceso inalámbrico de última milla con distancias típicas de hasta varios kilómetros, el prefijo cíclico tiene una duración de varios microsegundos (5.6us en bandas libres), por lo que la diferencia de trayectos puede llegar hasta 1.680 metros (frente a los 240 ó 120 metros de WiFi).

El caso extremo lo encontramos en la OFDM de DVBT, el estándar de televisión digital terrestre. En este caso el prefijo cíclico llega a durar en torno a 250 microsegundos, permitiendo diferencias de distancia entre trayectos de hasta 75 kilómetros, permitiendo la transmisión de señal a cientos de kilómetros, lo que posibilita las redes isofrecuencia con enormes distancias de cobertura.

Como puede apreciarse, cada tecnología está orientada a un entorno de propagación determinado, y el prefijo cíclico se dimensiona acorde a las distancias de propagación esperadas en cada caso. Usar la OFDM de WiFi o 802.16 para una red isofrecuencia de DVBT sería un auténtico fracaso, pues la modulación no sería capaz de soportar el enorme eco generado por el entorno de propagación a larga distancia. Lo mismo ocurriría si se emplease la modulación de WiFi en aplicaciones de acceso inalámbrico de última milla.

En definitiva, la duración del prefijo cíclico es un parámetro fundamental de la modulación OFDM, pues limita la capacidad de la modulación para eliminar la interferencia entre símbolos. Dicha duración debe especificarse acorde al escenario de propagación característico de cada tecnología.

5.       ¿Por qué los símbolos OFDM son de larga duración?

Como ya se ha mencionado anteriormente, en la modulación OFDM cada símbolo transporta mucha información (muchos bits) y es de larga duración, al contrario que en sistemas de portadora única, en los que los símbolos son de corta duración y cada uno lleva pocos bits. Al final ambos sistemas transportan la misma cantidad de información, pero una lo hace con símbolos largos con muchos bits por símbolo, y otra con símbolos cortos con pocos bits por símbolo. Si establecemos una analogía con un tren de transporte de pasajeros, la capacidad del tren depende de la longitud total del tren y del espaciado entre asientos, y no de si tiene muchos vagones cortos o pocos vagones largos (asumiendo que no hay espacios inutilizados entre vagones). Los vagones cortos llevan menos asientos que los largos, pero si la longitud del tren es la misma, la capacidad es la misma.

En OFDM se usan símbolos (vagones) largos con muchos bits (pasajeros) por símbolo. ¿A qué se debe esto?

Dado que el prefijo cíclico simplemente se usa para soportar el eco del símbolo precedente, es un intervalo de tiempo desperdiciado desde el punto de vista de la capacidad del sistema. Es decir, no transporta información. Por ello el prefijo cíclico (tiempo desperdiciado) debe tener una duración corta en relación a la duración del símbolo (tiempo útil). En la analogía del tren, los prefijos cíclicos corresponderían al espacio que hay entre vagones de un tren real. Como ese espacio no puede ser usado para el transporte de viajeros, conviene que dicho espacio entre vagones sea mucho más pequeño que la longitud de un vagón, para que su impacto en la capacidad del tren sea despreciable.

Este es el motivo por el que los símbolos OFDM son de larga duración, para que la inserción del prefijo cíclico no suponga una pérdida de capacidad notable. La duración del prefijo cíclico suele referenciarse a la duración del símbolo OFDM. Por ejemplo, es muy común que la duración del prefijo cíclico sea la cuarta parte de la duración del símbolo OFDM (prefijo cíclico 1/4).

¿Cómo de largo deben ser los símbolos de una modulación OFDM?

Como se ha explicado anteriormente, la duración del prefijo cíclico depende de la duración del eco esperable. La longitud de la porción útil del símbolo debe ser por lo menos cuatro veces la longitud del prefijo cíclico para evitar una reducción notable de la capacidad debida a la inserción del prefijo cíclico. Por lo tanto, todo parte de la duración esperable del eco, que fija la duración mínima del prefijo cíclico, que a su vez fija la duración mínima del símbolo OFDM.

6.       ¿Cómo se genera un símbolo OFDM?

En un sistema de portadora única con modulación QAM, la información se transporta en una portadora de una determinada frecuencia. Según el símbolo a transmitir, se transmite la portadora con la fase y amplitud que corresponda a dicho símbolo. Cada vez que se transmite un nuevo símbolo, cambia la fase y amplitud de la portadora.

El número de bits que transporta cada símbolo depende del número posible de símbolos (combinaciones de fase y amplitud) que se definan. Si hay ocho combinaciones posibles, cada símbolo transmitirá tres bits de información. Si hay sesenta y cuatro combinaciones, cada símbolo transportará seis bits de información (siempre el logaritmo en base dos del número de combinaciones posibles).

La capacidad de transmisión de un sistema en portadora única dependerá por tanto del número de símbolos que se transmitan por segundo (cuántas veces cambia la fase y amplitud de la portadora por segundo), y del número de bits que transporta cada símbolo.

Como se ha indicado anteriormente, los símbolos empleados en la modulación OFDM deben ser largos, más largos que el prefijo cíclico, que a su vez debe ser más largo que el máximo eco esperable en el medio de transmisión. Desafortunadamente, si el símbolo es largo la capacidad en bits por segundo sería muy baja, salvo que cada símbolo transportase un número altísimo de bits, lo que requeriría una relación Señal-Ruido (calidad de la señal) extraordinaria para poder diferenciar las mínimas diferencias de fase y amplitud que habría la enorme cantidad de  diferentes símbolos posibles. Así que parece que usar símbolos largos baja la velocidad de transmisión (bits por segundo).

Por otra parte, el ancho de banda espectral ocupado por una transmisión será exactamente el número de símbolos que se transmiten por segundo, es decir, el inverso del tiempo de símbolo. Es decir, si los símbolos duran un milisegundo, se transmitirán mil símbolos por segundo, por lo que el espectro ocupado será de 1 kHz (mil Hertzios). Así que símbolos largos ocupan muy poco espectro.

Pues bien, símbolos largos llevan poca información pero ocupan muy poco espectro. La modulación OFDM compensa la poca capacidad de los símbolos largos con la transmisión de muchas portadoras (“subportadoras”) en paralelo, cada una a una frecuencia diferente para que no se entremezclen. La “O” de OFDM significa “ortogonal”, que es lo mismo que decir que las subportadoras no se mezclen. ¿Cuántas subportadoras se transmiten? Las que se necesiten para llegar a la capacidad requerida por el sistema y que no excedan el ancho de banda total disponible.

En definitiva, la parte útil de un símbolo OFDM está formada por la transmisión de muchas subportadoras en paralelo. Cada subportadora transmite muy poca información, pues la velocidad de símbolo es muy baja (símbolos largos), pero al haber muchas subportadoras se logra una alta capacidad. El prefijo cíclico se genera copiando la última parte de la parte útil del símbolo OFDM.

7.       Ejemplo de modulación OFDM

Imaginemos que nos encargan diseñar un sistema de transmisión con modulación OFDM. La dos preguntas que debemos hacernos son

a)      ¿Cuál es el máximo eco que cabría esperar en el escenario típico de transmisión? Esta pregunta nos ayudará a dimensionar la duración del símbolo OFDM

b)      ¿De cuánto ancho de banda disponemos? La respuesta nos indicará el número de subportadoras que formarán cada símbolo OFDM.

Supongamos que en el escenario típico de propagación cabría esperar en el peor de los casos una diferencia entre el trayecto más corto y el más largo que puede recorrer la señal de 900 metros. Eso implica que el eco puede llegar a ser de 3 microsegundos (lo que tarda la luz en recorrer 900 metros). Para dejar un cierto margen, podríamos fijar el prefijo cíclico en 4 microsegundos.

Si establecemos que la parte útil del símbolo sea cuatro veces la duración del prefijo cíclico, dicha parte útil debería durar 16 microsegundos, por lo que el símbolo OFDM completo duraría 20 microsegundos.

Ahora estamos en disposición de calcular el número de subportadoras que formarán cada símbolo OFDM. Supongamos que al plantear la segunda pregunta se nos indica que disponemos de 10 MHz de ancho de banda. ¿Cuántas subportadoras emplearemos?

Como la parte útil del símbolo OFDM dura 16 microsegundos, cada subportadora ocuparía 62.5 kHz de espectro. Dado que disponemos de 10MHz de ancho de banda, podríamos emplear hasta 160 subportadoras.

Para finalizar la definición completa de la modulación, necesitamos saber cómo se modulará cada una de las subportadoras. Eso dependerá de la relación señal-ruido disponible, al igual que en sistemas de portadora única. Si por ejemplo esperamos poder contar con 27 dB de relación SNR, podríamos modular cada subportadora en 64QAM (seis bits por símbolo de cada subportadora).

¿Cuál sería la capacidad del sistema? Como se transmiten cincuenta mil símbolos OFDM por segundo (uno cada 20 microsegundos), y cada símbolo está formado por 160 subportadoras, con seis bits cada una de ellas, la capacidad del sistema será de 48 Mbps.

Esa misma capacidad sería la de un sistema de portadora única de 10MHz (tiempo de símbolo 100 nanosegundos), modulada en 64QAM (seis bits por símbolo), por lo que la capacidad sería de 60Mbps, pero una reducción de capacidad de un 20% debida a la presencia del prefijo cíclico.

8.       Conclusiones

En esta entrada se han presentado los aspectos más importantes de la modulación OFDM con un lenguaje sencillo y sin recurrir a ningún tipo de fórmula o conocimiento matemático. No se ha justificado el porqué de la necesidad de periodicidad cíclica en el prefijo cíclico, o por qué las subportadoras son ortogonales. Pero lo importante no es entender cómo se hace, sino por qué se hace y qué nos aporta. En ese sentido, se ha explicado la motivación de la modulación OFDM así como el mecanismo que permite combatir la interferencia entre símbolos típica de entornos de propagación multitrayecto.

El aspecto más importante a recalcar es que no todas las modulaciones OFDM son iguales. Cada tecnología define la suya propia, y todo viene dictado por la naturaleza del problema a resolver, que no es otro que la duración del eco del canal. Cada tecnología está diseñada para una aplicación, y en cada aplicación el canal es diferente. Por ello cada modulación OFDM es diferente.